Triangolo rettangolo con inscritto un cerchio

Disegniamo un triangolo rettangolo con inscritto un cerchio, chiaramente il cerchio sarà tangente a tutti i lati del triangolo.

Uniamo i vertici del triangolo A, B e C con il centro O della circonferenza. Si creano tre triangoli: AOB, BOC e AOC, chiaramente se sommiamo le loro tre aree otteniamo l'area del triangolo ABC.

Disegnamo le tre altezze dei triangoli OD, OE e OH, che sono anche il raggio della circonferenza inscritta che chiameremo r.

L'area del triangolo AOC la troviamo: ACxOH:2=ACxr:2
L'area del triangolo AOB la troviamo: ABxOD:2=ABxr:2
L'area del triangolo BOC la troviamo: BCxOE:2=BCxr:2

Per trovare l'area del triangolo ABC devo sommare le tre scritte sopra:
A=ACxr:2+ABxr:2+BCxr:2
che come scopriremo presto (ma pensandoci ci potete arrivare anche ora) posso scrivere:
A=(AC+AB+BC)xr:2

mi accorgo che AC+AB+BC è il perimetro del triangolo quindi:

A=2Pxr:2

ma da questa mi posso ricavare:
r=2A/2P

Grazie a Giacomo e Bernardo